C语言平衡二叉树问题怎么解决

蜗牛 互联网技术资讯 2022-04-24 53 0

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一、题目描述

给定一个二叉树,判断它是否是高度平衡的二叉树。

本题中,一棵高度平衡二叉树定义为:一个二叉树 每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。

C语言平衡二叉树问题怎么解决  c语言 第1张

二、解题思路

一棵二叉树是平衡二叉树,当且仅当其所有子树也都是平衡二叉树,因此我们使用递归的方式依次判断其所有子树是否为平衡二叉树,就知道这棵二叉树是不是平衡二叉树了。

自顶向下的递归(暴力解法)

自顶向下类似于 前序遍历,先判断当前树是否平衡,再判断当前树的左右子树是否平衡。

核心思路

写两个函数:

子函数:计算当前任意一个节点(树) root 的高度 root 是空节点:Depth ( root ) = 0root 是非空节点:Depth ( root ) = max ( Depth ( root->left ) , Depth ( root->right ) ) + 1

主函数:依次递归遍历完 root 的所有子树,对于「当前遍历到的子树」,判断是否平衡,首先计算其左右子树的高度,然后判断高度差是否不超过 1

  • 如果不超过,才能继续往下递归遍历「当前树的左右子树」,判断其是否平衡;

  • 如果超过1,说明不满足平衡条件,则直接返回 false,不用往下递归了。

递归过程演示:自顶向下的递归类似于前序遍历

C语言平衡二叉树问题怎么解决  c语言 第2张

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */
// 计算当前任意一个节点(树)的高度(子函数)
int TreeDepth(struct TreeNode* root)
{
    // 当前节点为空
    if(root == NULL)
    {
        return 0;
    }
    // 当前节点不为空,分别计算它的左右子树的高度
    int leftDepth = TreeDepth(root->left);
    int rightDepth = TreeDepth(root->right);
    // 当前节点(树)的高度
    return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}
bool isBalanced(struct TreeNode* root){
    // 依次递归遍历完root的所有子树,分别判断当前子树是否为高度平衡二叉树
    // 当前树的根节点为空,说明其满足高度平衡的二叉树,返回true
    if(root == NULL)
    {
        return true;
    }
    // 当前树的根节点不为空,分别计算它左右子树的高度
    int leftDepth = TreeDepth(root->left);
    int rightDepth = TreeDepth(root->right);
    // 计算左右子树的高度差
    int ret = leftDepth > rightDepth ? leftDepth - rightDepth : rightDepth - leftDepth;
    // 高度差不超过1,才能继续往下递归遍历当前树的左右子树
    return ret <= 1 && isBalanced(root->left) && isBalanced(root->right);
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n2),其中 n 是二叉树中的节点个数。

最坏情况下,二叉树是满二叉树,主函数 isBalanced(root) 需要遍历二叉树中的所有节点,时间复杂度是 O(n)。计算每个子树的最大高度函数 TreeDepth(root) 被重复调用。除了根节点,其余所有节点都会被遍历两次,复杂度为 O[2(n-1)],所以时间复杂度为 n*2(n-1) &asymp; n2。

  • 空间复杂度:O(n),其中 n 是二叉树中的节点个数。空间复杂度主要取决于递归调用的层数,递归调用的层数不会超过 n。

自底向上的递归(最优解法)

方法一自顶向下递归,类似 前序遍历,先判断当前树是否平衡,再判断当前树的左右子树是否平衡,所以对于同一个节点,函数 TreeDepth 会被重复调用,会重复计算很多次子树的高度,导致时间复杂度较高。

如果使用自底向上的做法,则对于每个节点,函数 TreeDepth 只会被调用一次。因为到达左子树底部后,每次对应的左子树都是放在递归调度中的,每次只需要获取新的右子树长度便可。

自底向上递归类似于 后序遍历,对于当前遍历到的节点,先递归地判断其左右子树是否平衡,再判断以当前节点为根的子树是否平衡。

  • 如果当前树的左/右子树中只要有一个不平衡,则整个树就不平衡,返回-1(表示不平衡)

  • 如果当前树是平衡的,则返回其高度,否则返回 -1(表示不平衡)。

写递归算法需要关注什么?

  • 整个递归的终止条件:递归应该在什么时候结束?&mdash; 子树根节点为空的时候,空树也是平衡二叉树。

  • 本级递归应该做什么? &mdash; 判断当前树的左子树、右子树、以及当前树是否是平衡的。

  • 返回值:应该返回给上一级的返回值是什么?&mdash; 当前树是平衡的,则返回其高度,不平衡则返回 -1。

递归算法流程:

每一级递归时,在我们眼中,当前树就是这样的,只有 rootleftright 三个节点。

C语言平衡二叉树问题怎么解决  c语言 第3张

到叶子节点了,当前树根节点 root 为空,说明是平衡的,则返回高度 0;

当前树根节点 root 不为空,计算左右子树 leftright 的高度,并判断:

  • 如果「左子树 left 高度为 -1」、或「右子树 right 高度为 -1」、或「左右子树高度差 > 1」,说明整个树 不平衡 ,直接返回 -1(表示不平衡)。

  • 如果不满足上面 3 种情况,说明当前树是 平衡 的,返回当前树的高度,即 max ( left, right ) + 1

补充:计算绝对值的函数:int abs( int n ); ,头文件 <stdlib.h> or <math.h>。

递归过程演示:自底向上递归类似于后序遍历

C语言平衡二叉树问题怎么解决  c语言 第4张

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     struct TreeNode *left;
 *     struct TreeNode *right;
 * };
 */
// 计算当前树的高度,并判断当前树是否是平衡二叉树
int _isBalanced(struct TreeNode* root)
{
    // 先分别判断当前树的左/右子树是否平衡
    // 如果当前树的左/右子树中只要有一个不平衡,则全树就不平衡,返回-1(表示不平衡)
    // 如果当前树的左右子树都平衡,则继续判断当前树是否平衡
    // 1. 到叶子节点了,当前树根节点为空,说明是平衡的,则返回高度0
    if(root == NULL)
    {
        return 0;
    }
    // 2. 当前树根节点不为空
    // 计算左右子树的高度
    int leftTreeDepth = _isBalanced(root->left);
    int rightTreeDepth = _isBalanced(root->right);
    // 不平衡的3种情况:左子树高度为-1,右子树高度为-1,左右子树高度差>1
    if(leftTreeDepth == -1 || rightTreeDepth == -1 || abs(leftTreeDepth - rightTreeDepth) > 1)
    {
        return -1;
    }
    // 如果不满足上面3种情况,说明当前树是平衡的,返回当前树的高度
    return leftTreeDepth > rightTreeDepth ? leftTreeDepth + 1 : rightTreeDepth + 1;
}
bool isBalanced(struct TreeNode* root){
    // 递归遍历过程中:
    // 只要有一个子树高度为-1,说明整个树是不平衡的,返回false
    // 所有子树高度都不等于-1,说明整个树是平衡的,返回true
    return _isBalanced(root) != -1;
}

复杂度分析:

1.时间复杂度:O(n),其中 n 是二叉树中的节点个数。

最坏情况是二叉树为满二叉树时,需要遍历完满二叉树中的所有节点,自底向上方法,因此每个节点只会被遍历一次,所以时间复杂度是 O(n)。

2.空间复杂度:O(n),其中 n 是二叉树中的节点个数。空间复杂度却决于递归调用的层数,有 n 个节点的二叉树为单边树时深度最大,为 n。

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